§ 5. Системи числення

В реальному житті ми з вами користуємося десятковою системою числення, тобто для запису будь-якого числа ми використовуємо десять арабських цифр: 0, 1, 2, 3, …, 9.

Інформація в ЕОМ кодується в двійковій системі числення, тобто мінімальний набір знаків – це 0 та 1. Двійкове числення запропоноване у XVII ст. Г.Лейбніцем.

Система числення – це спосіб зображення чисел за допомогою символів, що мають певні кількісні значення. Мінімальний набір знаків, якими записуються число, називається алфавітом. Кількість знаків в алфавіті називається основою системи числення.

Двійкова система числення

У двійковій системі числення числа виражаються тільки за допо­могою двох цифр 0 і 1.

Запишемо у двійковій системі цифри десяткової системи (табл. 1)

Таблиця 1.

Будь-яке двійкове число, записавши його у вигляді суми степенів основи, можна перевести в десяткове, наприклад

  (101110)₂ = 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 46.

Звідси ми бачимо, що десятковому числу з двома розрядами від­повідає двійкове з шістьма розрядами, але не зважаючи на високу розряд­ність двійкових чисел саме двійкова система стала основою побудови обчис­лю­вальних машин, тому що електронні елементи, які застосо­ву­ються в комп’ютерній техніці, можуть перебувати в двох стійких станах. Сучасні комп’ютери можуть за один такт (в паралель) опрацьовувати до 64 бітів, тому висока розрядність двійкових чисел не є проблемою.

Якщо під запис двійкового числа виділити n бітів, то кількість різних чисел, що записується за допомогою n бітів, дорівнює 2ⁿ.

Над двійковими числами теж виконуються арифметичні дії. Для їхнього додавання та множення використовують такі таблиці (табл. 2)

Двійкові числа можна ділити та віднімати. Ці арифметичні операції в сучасних комп’ютерах виконує арифметико-логічний пристрій, що вхо­дить до складу мікропроцесора.

Вісімкова та шістнадцяткова системи числення

Двійкова система числення призводить до довгого запису чисел, який важко сприймається користувачем при його зчитуванні. Тому для ком­пактнішого запису чисел використовують вісімкову та шістнадцяткову системи числення. Ці системи числення використовуються користувачами, комп’ютер все рівно працює з двійковими числами.

Вісімкові числа записуються за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а алфавіт шістнадцяткової системи складається з арабських цифр і перших шести літер латинського алфавіту: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Основи цих двох систем є степенями числа 2 (8 = 2³, 16 = 2⁴), тому двійкові числа зручно записувати в цих системах. Наприклад (357)₈ = 11 101 111, (7AB)₁₆= 111 1010 1011. Шістнадцяткові числа ще позначають літерою H в кінці числа, наприклад (7AB)₁₆ = 7ABH.